Szerkesztő:Zlajos~huwiki/Ismétléses variációk fixpontjai

A fixpont elnevezést talán találat, mint matching numbers néven kéne emlegetni, mivel minden ezen a lapon előforduló esetben, pl ha egy variáció például "v a r i" betűkből van mindíg

v v v v v vagy

a a a a a vagy

r r r r r vagy

i i i i i

karakterekkel kell összevetni a poziciókon lévő egyezések meghatározásához!!

tehát

"vavri" ha aaaaa - ra vizsgáljuk a variációk minden sorát, akkor 1 találat, ha vvvvv -re, akkor 2 találat, ha rrrrr - re és iiiii - re is egy találat, de a találatok végső eloszlása azonos lenne !!!

Ha a "vavri" elrendezést vennénk, akkor "vavri" - ra lenne 5 találat, aaaaa-ra 1 találat, viszont az összes találat nem a továbbiakban meghatározott egyszerű képletekkel lenne leírható!!

Arra még nincs ismerős szabály!

Számuk

• Az $n$ db. elem $k$-ad osztályú ismétléses variációinak száma (jelölje $V_{n}^{k,i}$): $V_{n}^{k,i}=n^{k}$.

Példa1

aaa

aab

aac

aba

abb

abc

aca

acb

acc

baa

bab

bac

bba

bbb

bbc

bca

bcb

bcc

caa

cab

cac

cba

cbb

cbc

cca

ccb

ccc

Kérdés1

• A mai magyar TOTÓ játékon 13 mérkőzésre lehet tippelni. Amennyiben valamennyi mérkőzés mindhárom lehetőségét (1, X, 2) megjátsszuk, biztosan lesz egy, és csakis egy telitalálatos hasábunk.
• Az összes lehetőség száma: 3^13

Ha minden mérkőzést hazai csapat nyer, tehát a nyerő hasáb 111 111 111 111 1, akkor:

• Hány darab 12 találatos hasábunk lesz?
• Hány darab 11 találatos hasábunk lesz?
• Hány darab 10 találatos hasábunk lesz?

Az eddigi kérdések az igazi totózókat foglalkoztatják. Ami nem érdekli őket:

• Hány darab 9 találatos hasábunk lesz?
• Hány darab 8 találatos hasábunk lesz?

..............stb........

• Hány darab 2 találatos hasábunk lesz?
• Hány darab 1 találatos hasábunk lesz?
• Hány darab 0 találatos hasábunk lesz?

Válasz1

Balról a nulla találatostól a 13 találatosig a darabszámok, (dőlt' a nulla találatosok száma, vastagon a TOTÓ pénznyerő találatok száma)

• 8192, 53248, 159744, 292864, 366080, 329472, 219648, 109824, 41184, 11440, 2288, 312, 26, 1

Kérdés2

• A régi magyar TOTÓ játékon 12 mérkőzésre lehet tippelni.
• Hogyan alakul a találatok száma a fenti példa szerint?

Tehát csupa 1-es lett az eredmény! 111 111 111 111

Válasz2

Balról a nulla találatostól a 12 találatosig a darabszámok, (dőlt' a nulla találatosok száma (akkoriban (1948-) erre fizették a vigaszdíjat), vastagon a TOTÓ pénznyerő találatok száma)

4096, 24576, 67584, 112640, 126720, 101376, 59136, 25344, 7920, 1760, 264, 24, 1

Kérdés3

A "találatok" kifejezést cseréljük le fixpontra.

Hogyan alakul fixpontok száma, ha:n db. elem k-ad osztályú ismétléses variációinak fixpontjait számoljuk? Az összehasonlítás mindíg csak egyforma karakterekkel történik!

Pl:

a

aa

aaa

bbbb

n=3 elem esetén

Fixpontok száma: balról nullától k-ig

1....................(k=0) 3^0

2, 1.................(k=1) 3^1=3

4, 4, 1...............(k=2) 3^2=9

8, 12, 6, 1..........(Példa1 variációit aaa, vagy bbb, vagy ccc mintával összehasonlítva.)

16, 32, 24, 8, 1 és így tovább!

32, 80, 80, 40, 10, 1

64, 192, 240, 160, 60, 12, 1

128, 448, 672, 560, 280, 84, 14, 1

256, 1024, 1792, 1792, 1120, 448, 112, 16, 1

512, 2304, 4608, 5376, 4032, 2016, 672, 144, 18, 1

1024, 5120, 11520, 15360, 13440, 8064, 3360, 960, 180, 20, 1

2048, 11264, 28160, 42240, 42240, 29568, 14784, 5280, 1320, 220, 22, 1

4096, 24576, 67584, 112640, 126720, 101376, 59136, 25344, 7920, 1760, 264, 24, 1 (régi TOTÓ)

8192, 53248, 159744, 292864, 366080, 329472, 219648, 109824, 41184,11440, 2288, 312, 26, 1 (mai TOTÓ)

A számháromszöget leíró formula: MAPLE

for i from 0 to 13 do seq(binomial(i, j)*2^(i-j), j = 0 .. i) od;#

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, vagy

Egész számok sorozatainak on-line enciklopédiája szerint:

(http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=A038207&language=hungarian&go=Keres%C3%A9s)

A038207 Triangle whose (i,j)-th entry is binomial(i,j)*2^(i-j).

A fixpontok számát leíró sorozatok

Nulla (free) fixpont, vagy fixpont nélküli....

A számháromszög baloldali első (szélső) számai

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024..... A000079 Powers of 2: a(n) = 2^n.

Binomial(n,0)*2^(n-0).

Egy fixpont

A számháromszög baloldali második számai

(0,) 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, 5120, 11264, 24576 A001787 n*2^(n-1). Number of edges in n-dimensional hypercube.

Binomial(n,1)*2^(n-1). vagy C(n,1)*2^(n-1)

Kettő fixpont

A számháromszög baloldali harmadik számai

(0), 1, 6, 24, 80, 240, 672, 1792, 4608, 11520, 28160, 67584, 159744...

A001788 n*(n+1)*2^(n-2).Number of 2-dimensional faces in (n+1)-dimensional hypercube; also number of 4-cycles in the (n+1)-dimensional hypercube

Binomial(n,2)*2^(n-2). vagy C(n,2)*2^(n-2).

Három fixpont

A számháromszög baloldali negyedik számai

1, 8, 40, 160, 560, 1792, 5376, 15360, 42240, 112640...

A001789 Binomial(n,3)*2^(n-3).

Number of 3-dimensional cubes in n-dimensional hypercube

Binomial(n,3)*2^(n-3). vagy C(n,3)*2^(n-3).

Négy fixpont

A számháromszög baloldali ötödik számai

1, 10, 60, 280, 1120, 4032, 13440, 42240, 126720, 366080...

A003472 2^(n-4)*C(n,4).

Number of 4D hypercubes in n-dimensional hypercube

Binomial(n,4)*2^(n-4). vagy C(n,4)*2^(n-4).

Öt fixpont

1, 12, 84, 448, 2016, 8064, 29568, 101376, 329472, 1025024...

A054849 2^(n-5)*C(n,5).

Number of 5D hypercubes in an n-dimensional hypercube.

Binomial(n,5)*2^(n-5). vagy C(n,5)*2^(n-5).

Hat fixpont

1, 14, 112, 672, 3360, 14784, 59136, 219648, 768768, 2562560....

A002409 2^n*C(n+b,6)????.(hibás a weblapon)kijavították: 2^n*C(n+6,6)

Number of 6D hypercubes in an (n+6)-dimensional hypercube.

Binomial(n,6)*2^(n-6). vagy C(n,6)*2^(n-6).

Hét fixpont

1, 16, 144, 960, 5280, 25344, 109824, 439296, 1647360.....

A054851 2^(n-7)*C(n,7).

Number of 7D hypercubes in an n-dimensional hypercube.

Binomial(n,7)*2^(n-7). vagy C(n,7)*2^(n-7).

k fixpont

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

MAPLE

seq(binomial(n, n-0)*2^0,n=0..19);

k-1 fixpont

(0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22...

A005843 The even numbers: a(n) = 2n. ).

2* binomial(n,1) vagy 2*C(n,1)

MAPLE

seq(binomial(n, n-1)*2^1,n=1..19);

k-2 fixpont

(0), 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420...

A046092 2n(n+1).

a(n) = C(2n, 2) - n = 4*C(n, 2)

4*binomial(n,2) vagy 4*C(n, 2)

MAPLE

seq(binomial(n, n-2)*2^2,n=2..19);

k-3 fixpont

8, 32, 80, 160, 280, 448, 672, 960, 1320, 1760, 2288....

A130809 If X_1,...,X_n is a partition of a 2n-set X into 2-blocks then a(n) is equal to the number of 3-subsets of X containing none of X_i, (i=1,...n).

a(n)=4/3*n*(n-1)*(n-2) MAPLE

seq(binomial(n, n-3)*2^3,n=3..19);

k-4 fixpont

16, 80, 240, 560, 1120, 2016, 3360, 5280, 7920, 11440, 16016...

A130810 If X_1,...,X_n is a partition of a 2n-set X into 2-blocks then a(n) is equal to the number of 4-subsets of X containing none of X_i, (i=1,...n).

MAPLE

seq(binomial(n, n-4)*2^4,n=4..19);

k-5 fixpont

32, 192, 672, 1792, 4032, 8064, 14784, 25344, 41184, 64064....

A130811 If X_1,...,X_n is a partition of a 2n-set X into 2-blocks then a(n) is equal to the number of 5-subsets of X containing none of X_i, (i=1,...n).

MAPLE

seq(binomial(n, n-5)*2^5,n=5..19);

k-6 fixpont

64, 448, 1792, 5376, 13440, 29568, 59136, 109824, 192192.....

A130812 If X_1,...,X_n is a partition of a 2n-set X into 2-blocks then a(n) is equal to the number of 6-subsets of X containing none of X_i, (i=1,...n).

MAPLE

seq(binomial(n, n-6)*2^6,n=6..19);

k-7 fixpont

128, 1024, 4608, 15360, 42240, 101376, 219648, 439296, 823680....

A130813

If X_1,...,X_n is a partition of a 2n-set X into 2-blocks then a(n) is equal to the number of 7-subsets of X containing none of X_i, (i=1,...n). MAPLE

seq(binomial(n, n-7)*2^7,n=7..29);