Skalárszorzatos vektortér

Két vektor közötti szög a skalárszorzattal értelmezve

A lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben a skalárszorzatos vektortér vagy prehilberttér egy vektortér, melyen még skalárszorzat is definiálva van a szokásos tulajdonságaival. Ha az alaptest valós, akkor a vektortér euklideszi; ha az alaptest komplex, akkor a tér unitér. Egyes szerzők azonban eltérnek ettől, és a valós, illetve komplex vektortereket is nevezik unitérnek vagy euklideszinek. A véges dimenziós, n-dimenziós vektortér euklideszi terek az n-dimenziós euklideszi tér modelljei.

A skalárszorzat jelentőségét az adja, hogy segítségével lehet a vektorok hosszát, a matematika nyelvén normáját; és vektorpárok közrezárt szögét értelmezni, távolságokat mérni. Emiatt a skalárszorzatos vektorterek normált terek is. Ha a normált tér teljes a norma által indukált metrikára, akkor a tér Hilbert-tér.

Formális definíció

A klasszikus geometriában fontos a távolságok és a szögek mérése. Az euklideszi geometria axiómarendszerében ezt az egybevágóság axiómája biztosítja. Descartes-féle koordináta-rendszerben a távolságok és szögek skalárszorzattal számíthatók. A skalárszorzatos vektorterek ezt általánosítják: rögzítenek egy bázist, és ehhez egy skalárszorzatot, ami alapján értelmezhetők ezek a fontos jellemzők.

A skalárszorzatos vektorterekben a többi vektortérhez hasonlóan értelmezzük a vektorok összeadását és skalárral szorzását, szokásos tulajdonságaikkal:

Legyen $\mathbb {K}$ a valós vagy komplex számok teste, és legyen $V$ vektortér a $\mathbb {K}$ test fölött! Ekkor $V$ a vektorok összeadására Abel-csoportot alkot, azaz a vektorok összeadása kommutatív, asszociatív, és minden vektornak van ellentettje. A skalárral szorzás disztributív skalár és vektor szempontjából, és asszociatív is, illetve az alaptest egységeleme a skalárral szorzás neutrális eleme. Ezeknek a műveletek részletes leírása megnézhető Vektortér cikkünkben.

A skalárszorzatos vektorterekben egy harmadik művelet is értelmezve van, a skalárszorzat. Ez valós esetben egy pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben egy pozitív definit Hermit-féle szeszkvilineáris forma, ami egy $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to {\mathbb {K} }$ leképezés úgy, hogy minden $x,y,z\in V$ és $\lambda \in {\mathbb {K} }$ esetén:

• (1)    $\langle {x},{x}\rangle \geq 0$
• (2)    $\langle {x},{x}\rangle =0\Leftrightarrow {x}={0}$
• (3)    $\langle {x},{y}\rangle ={\overline {\langle {y},{x}\rangle }}$ (valós esetben a konjugálás elhagyható)
• (4a)  $\langle {x},\lambda {y}\rangle =\lambda \langle {x},{y}\rangle$   és
  (4b)  $\langle {x},{y}+{z}\rangle =\langle {x},{y}\rangle +\langle {x},{z}\rangle$ (második argumentumában lineáris)

A (3) és (4) tulajdonságokból következik:

• (5a)  $\langle \lambda {x},{y}\rangle ={\overline {\lambda }}\langle {x},{y}\rangle$   és
  (5b)  $\langle {x}+{z},{y}\rangle =\langle {x},{y}\rangle +\langle {z},{y}\rangle$ első argumentumban szemilineáris - valós esetben a konjugálás elhagyható, ekkor a skalárszorzat első argumentumában is lineáris; tehát a skalárszorzat bilineáris.

A fenti definíció az elméleti fizikában használatos. Gyakran azonban ehelyett a második argumentumban konjugálnak. Vagyis:

• (4a')  $\langle \lambda {x},{y}\rangle =\lambda \langle {x},{y}\rangle$

lineáris az első argumentumban

• (5a')  $\langle {x},\lambda {y}\rangle ={\overline {\lambda }}\langle {x},{y}\rangle$

szemilineáris a második argumentumban. Mindig figyelnünk kell arra, hogy az adott szerző melyik változatot használja. Valós esetben a konjugálásnak nincs hatása, így elhagyható.

Jelölés

A skalárszorzást jelölheti $x\cdot y$, de ha nem érthető félre, akkor a szorzópont elhagyható. Ilyenkor a betűkön jelölik, hogy itt mindkét tényező vektor, így kövéren nyomtatják, aláhúzzák a betűket, vagy nyilakkal jelzik. Így például $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\mathbf {xy}$ skaláris szorzás, míg $a\mathbf {x}$ skalárral szorzás.

Elterjedt jelölés a $\langle x,y\rangle$, melyet a funkcionálanalízis is használ. Ebből származik a Braket-jelölés, amit a kvantummechanikában előszeretettel alkalmaznak: $\langle x\mid y\rangle$.

Példák

A valós számok vektorterében az $\langle x,y\rangle =xy$, illetve a komplex számok vektorterében a $\langle x,y\rangle ={\bar {x}}{y}$ egyszerű példák skalárszorzatos vektortérre.

Véges dimenziós vektortérben, $x,y\in {\mathbb {K} }^{n}$-ben a standard skalárszorzat:

$\langle x,y\rangle =\sum _{j=1}^{n}{\bar {x}}_{j}{y_{j}}$

amivel ${\mathbb {K} }^{n}$ teljessége miatt nemcsak skalárszorzatos vektortér, hanem Hilbert-tér is. Minden Hilbert-tér skalárszorzatos vektortér is egyben.

Egy további példa a $[a,b]$-ből $\mathbb {R}$-be menő függvények tere, az

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}p(x)f(x)g(x)\ {\rm {d}}x$

skalárszorzattal, ahol $p$ folytonos pozitív súlyfüggvény. Ahelyett, hogy $p(x)>0$, feltehetjük, hogy $p(x)\geq 0$. Ebben a térben az ortogonális bázisokat ortogonális függvényrendszereknek nevezik. Példák a trigonometrikus függvények, a Legendre-polinomok, a Csebisev-polinomok, a Laguerre-polinomok és az Hermite-polinomok.

Norma

A skalárszorzat normát indukál a vektortéren:

$\|x\|={\sqrt {\langle {x},{x}\rangle }}$.

A háromszög-egyenlőtlenség a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenséggel bizonyítható:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$.

Az indukált normával a skalárszorzatos vektortér normált tér, ahol teljesül a paralelogrammaazonosság:

$2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right)=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}$.

Megfordítva, a Jordan-Neumann-tétel szerint, ha egy normált térben teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor van skalárszorzat, ami a normát indukálja, így a tér skalárszorzatos. A skalárszorzat a polarizációs formulával számítható, valós esetben:

$\langle x,y\rangle ={1 \over 4}\left({\|x+y\|}^{2}-{\|x-y\|}^{2}\right)$.

Besorolás a vektorterek hierarchiájába

A skalárszorzat által indukált normával a skalárszorzatos vektortér normált tér. Így metrikus tér, tehát topologikus tér is; geometriai, illetve topológiai szerkezete van.

A teljes skalárszorzatos terek Hilbert-terek. Minden skalárszorzatos vektortér izometrikus izomorfia erejéig Hilbert-térré tehető teljessé tétellel.

Általánosítások

A tenzoralgebra szempontjából a skalárszorzat:

$g\colon V\times V\to {\mathbb {K} }$

felfogható másodfokú tenzorként a

$g\in V^{*}\otimes V^{*}$

jelöléssel, ahol $\otimes$ a tenzorszorzat, és $V^{\ast }$ a $V$ duális tere. Itt $g$ metrikus tenzor vagy metrika. A skalárszorzat előjelmegkötése azt jelenti, hogy a $g$-hez tartozó mátrix pozitív definit, vagyis csak pozitív sajátértékei vannak.

A skalárszorzatos vektorterek általánosításai a bilineáris terek, ahol skalárszorzat helyett hermitikus formát vagy bilineáris formát használnak, amiről nem kötik ki, hogy pozitív definitnek kell lennie. Ennek egy fontos példája a Minkowski-tér a speciális relativitáselméletből, melynek metrikája $(-,+,+,+)$ vagy $(+,-,-,-)$ előjelű sajátértékekkel bír.

Forrás

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Prähilbertraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.